2018年南华大学数理学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求指数, 使得曲线积分
【答案】设
,
, 则
由
得
. 这时
, 所以积分与路径无关, 由于
I.
及
所以
2． （1）求表面积一定而体积最大的长方体；
（2）求体积一定而表面积最小的长方体.
【答案】（1）设长方体的长、宽、高分别为x , y , z , 表面积为限制条件为:
设
令
解得
因所求长方体体积的最大值, 且稳定点只有一个, 所以最大值定而体积最大的长方体是正立方体.
（2）设长方体的长、宽、高分别为z , y , z , 体积为v , 则表面积件:xyz=u
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’与路线无关, 并求k.
则体积为
故表面积一
限制条
设令
解得
故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.
3． 应用幂级数性质求下列级数的和:
（1）
（2）
【答案】⑴设
则
所以
从而
（2）可求得
的收敛域为（﹣1, 1], 设
则
故
从而
4． 求心形线
【答案】
的切线与切点向径之间的夹角.
由半角公式
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得. 故当时, ; 当时,
5． 求下列由参量方程所确定的导数
（1）（2）【答案】（1）故
当（2）故
6． 求
【答案】方法一令通过计算易知
, =-1.注意到
于是有
由此可见, f （x , y）在全平面上无最大值. 而另一方面, :
即f （x , y）在有界闭域:方法二:先固定
x , 求显然
于是
故
又由
‘可知f （x , y ）在R 2上无最大值.
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处
处
时,
在全平面上的最大最小值.
,
, 可得驻点（1,
0）.
, 所以（1, 0）为极小点, 极小值为f （1, 0）
, 当或时
上的最小值
-1必是f （
x , y ）在全平面上的最小值
.
. 将f （x , y ）改写为:
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