2018年复旦大学管理学院861概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设回归模型为
试求
的最大似然估计，它们与其最小二乘估计一致吗？
【答案】似然函数为
其对数似然函数为
导并令导函数为0, 得到如下似然方程组
，（忽略常数项）将其分别对
求
经过整理可以解出
可以看到
的最大似然估计与其最小二乘估计是一致的.
2． 在钢线碳含量对于电阻的效应的研宄中, 得到以下的数据:
表
1
（1）画出散点图； （2）求线性回归方程（3）求的方差（4）检验假设（6）求
处
；
的置信水平为0.95的置信区间； 的无偏估计；
（5）若回归效果显著, 求b 的置信水平为0.95的置信区间； （7）求x=0.50处观察值Y 的置信水平为0.95的预测区间.
【答案】 （1）散点图如图1, 从图上看取回归函数为是合适的
.
图1
（2）由给定的数据经计算, 得到
.
所以回归方程为
（3）（4）当
时,
.
, 则拒绝域为
由已知得检验统计量的观察值为
由于
（5）给定的置信水平为即知
得b 的置信水平为0.95的置信区间为
即（6）当
.
时, Y 的估计值为
9
（表载t 分布的临界值a 最小的是0.005）,
,
由此知回归效果是极其显著的.
置信水平为, 故
从而得的一个置信水平为0.95的置信区间为
（7）以上已求得同上, 可得
于是得
3． 设
试证
处, 观察值的一个置信水平为的预测区间为
为抽自正态总体的简单随机样本. 欲估计
为枢轴量，其中k 为已知常数: 【答案】因为
，故
其中
是自由度为n-1的非中心t 分布，其非中心参数
为已知常数. 又
所以
的分布与
无关，即为枢轴量.
4． 某种福利彩票的奖金额X 由摇奖决定，其分布列为
表
若一年中要开出300个奖，问需要多少奖金总额，才有【答案】记
为第i 次摇奖的奖金额，则可得
根据题意可列如下不等式
再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
由此查表得
从中解得
取k=9488（万元）即可.
的把握能够发放奖金.
，设奖金总额为k （万元）