2018年复旦大学管理学院861概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为概率.
【答案】记事件A 为“第i 个人译出密码”，
为“密码被译出”. 则
注:互不相容可简化事件并的概率计算，相互独立可简化事件交的概率计算. 这里为了要利用相互独立性，把事件并在对偶法则下转化为事件交，这一方法以下会经常用到.
2． 设随机变量X 的概率密度为. , 对X 作两次独立观察, 设两次的观察值为
（1）求常数a 及（2）求
的联合分布.
可得
解之得
,
由题设可知
相互独立, 所以
（2）
9
,
,
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，求此密码被译出的
, 令
；
.
【答案】 （1）由
于是随机变量X 的概率密度为
,
所以
的联合分布如下:
表
1
3． 设二维随机变量（x , y ）在边长为2, 中心为（0, 0）的正方形区域内服从均匀分布，
试求
.
【答案】记
因为（x , y ）服从D 上的均匀分布，且D 的面积
4． 如果
【答案】记使
是F 因为令而
rN ）
由M 的定义即可知所以有
而对于
当
时，有
因而
, 由的任意性知
结论得证.
，G 的面积
试证:
与X 的分布函数分别为的连续点，
且
故存在因为
使当故存在
时，有
使当
时，有
和
对任给的
取足够大的
和
所以所求概率为
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5． 设是来自Rayleigh 分布的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为
（1）求此分布的充分统计量；
（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题
的拒绝域；
（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】 （1）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，的充分统计量是:（2）注意到
由此可见故对
是
的无偏估计. 当
的拒绝域为
其中c 由概率等式可以证明，当由此可得在原假设由等式
时，，或者
成立下，有
可得
记
是
分布的
分位数，可得
譬如，当n=15，即当检验统计量
时，
所以
c=21.887.
时，将拒绝原假设
.
确定. 为了确定c ，需要充分统计量
，
利用分布的分位数可确定临界值C.
的分布.
较大时，拒绝原假设
是合理的.
.
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