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一、计算题

1． 设随机向量X 与Y 都只能取两个值，试证:X 与Y 的独立性与不相关性是等价的.

【答案】因为独立必定不相关，所以只需证:若X 与Y 不相关，则X 与Y 独立. 不失一般性，可设X 与Y 只取0与1两个值，否则可设X 的可能取值为为c ，d. 又记

所以

与

的可能取值均为0, 1.

与

不相关. 所以只需证

表

与

是独立的. 记

的联合分布列

由X 与Y 不相关可得

的可能取值

与各自的边际分布列如下表所示.

由此可

得

得:

将此代入联合分布列与边际分布列的关系式

由

与的不相关性可

即可得

即

与

独立，从而证得X 与Y 独立.

的联合密度函数为

试求

当

时，

所以

2． 设二维连续随机变量

【答案】先求条件密度函数

由此得

3． 某加油站每周补给一次油，如果这个加油站每周的销售量（单位:千升）为一随机变量，其密度函数为

试问该油站的储油罐需要多大，才能把一周内断油的概率控制在足

这等价于

因此由

中解得

（千升）. 所以可取k=46（千升）即可将一周内断油的概率控制在

以下.

4． 针对糖果包装研宄的数据, 请用修正的Bartlett 检验在显著性水平否满足方差齐性假定.

【答案】 r=4, 各组样本量不相等，且样本量分别为2, 3, 3, 2, 都不大，只能用修正的Bartlett 检验. 由例数据可求得各水平下的样本方差为

已经求得

，于是

从而可求得Bartlett 检验统计量的值:

进一步，有

因而可得到修正的Bartlett 检验统计量为

若取显著性水平此处检验统计量值，

，拒绝域为

未落入拒绝域中，故接受原假设

以下？

【答案】记X 为该油站每周的销售量，k 为该油站储油罐的最大储油量. 则由题意知:k 应该满

下考察四个总体是

，

，认为四个水平下的方

差无显著差异.

5． 设总体为估计.

现对该总体观测n 次，发现有k 次观测值为正，使用频率替换方法求的

下面计算观测值为正的概率. 当总体为

时，

【答案】由题意知，观测值为正的频率

其中为标准正态分布的分布函数. 利用频率替换概率的方法有这给出参数的矩估计为

譬如，若设

则由上式知是标准正态分布的

6． 设随机变量X 和Y 相互独立, 且均服从参数为1的指数分布,

求: （1）随机变量V 的概率密度（2）

；

分位数，

【答案】 （1）X 与Y 的分布函数均为

的分布函数为

故V 的概率密度为

（2）解法1:

故U 的概率密度为

解法2:因为

, 故

.

7． 以X 记某医院一天内诞生婴儿的个数，以Y 记其中男婴的个数. 设X 与Y 的联合分布列为

试求条件分布列

【答案】先求X 的边际分布列

. 的分布函数为