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一、证明题

1． 设函数f 在且有

若若

综上，存在.

2． 求证：

(1) (2)

【答案】(1) 已知序列

严格递増，且

又设

再根据

显资

项的平均值不等式，有

联合

与

式即得

(2) 记

由第(1) 小题结论，有

再由第(1) 小题结论，有

即有下界，从而极限

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上连续，且证明：存在点由f (x ) 在

使得

上连续可知F (x ) 在

上也连续.

【答案】作辅助函数

则取

则

使得

或即有

使

得

即

由根的存在性定理知，存

在

存在.

3． 利用条件极值方法证明不等式

【答案】取目标函数

约束条件为

对L 求偏导数，令它们等于0, 则有

解方程组易得稳定点是

为了判断把目标函数

看作与

是否为所求条件极值，可把条件

的复合函数

当

由此可得稳定点为极大值点，即有不等式

即

4． 将函数

【答案】由

逐项积分上式得

因为

及

在[0，1]上连续。

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。拉格朗日函数为

看作隐函数并

于是

在点展开为幂级数，并证明此幂级数在[0，1]上一致收敛.

根据定理

可知级数

再根据以上定理知幂级数在[0，1]上一致收敛.

二、解答题

5． 设

存在

，

则

即

【答案】由令

对x 求导，有

6． 计算下列第一型曲面积分：

其中S 为上半球面

其中S 为立体其中S 为柱面其中S 为平面

【答案】(1) 因

的边界曲面；

被平面

所截取的部分；

在第一卦限中的部分。

从而

(2) 面积S 由两部分区域都是

组成，其中

它们在：xOy 面上的投影

由极坐标变换可得

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