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一、证明题

1． 设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入同色的球. 试证：第k 次取到黑球的概率为

【答案】

设事件设

则显然有

则由全概率公式得

把k 次取球分为两段：第1次取球与后k-1次取球. 当第1次取到黑球时，罐中增加c 个黑球，这时从原罐中第k 次取到黑球等价于从新罐（含b+c个黑球，r 个红球）中第k-1次取到黑球，故有

类似有

所以代入（1）式得

由归纳法知结论成立.

2． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=

不相关但不独立. 【答案】因为

与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得

所以X 与

不独立.

利用此结果计

3． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试证明：算

【答案】

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个

下用归纳法证明.

为“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第i 次取到是黑球”，

记

证明:X 与不相关. 为证明X

所以这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率

由此得

4． 设随机变量序列

独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为当x<0时,

有

当

„所以, 对任意的

时,

有

, 当

所以有

结论得证.

5． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

即A ，B 相容.

6． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.

【答案】设总体玛分布

，其密度函数为

则的后验分布为

，其中已知，

为其样本，取

的先验分布为倒伽而当时, 有

时,

有

其中常数

, 令

即

值已知）的共轭先验分布.

7． 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为

这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差（均

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其

中明,

【答案】令

服从自由度为2的（1）, 则

为样本的次序统计量. 试证分布

的联合密度为

作变换

其雅可比（Jacobi ）行列式为合密度我们可以知道

的联合密度为

从而

由该联

是独立同分布的随机变量, 且

这是指数分布就证明了

的分布函数, 我们知道

,

就是

也就是

. 这

8． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：

其中

平方和之间的关系；

（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：

所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为

是适当选取的常数.

（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差

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