2017年江苏大学财经学院886概率论与数理统计基础考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 在伯努利试验中, 事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列, 其共同分布为
表
且
从而
又当
时, 与
又因为
于是有
即马尔可夫条件成立, 故
服从大数定律.
都服从区间（0，1）
2． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证
：上的均匀分布.
【答案】因为X 的密度函数为
又因为
，且的可能取值范围是（0，1）
所以
是严格单调减函数，其反函数为
的密度函数为
即
3． 设
又
由
知
独立, 所以
也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证. 是来自泊松分布
的一个样本.
在显著性水平为时给出其拒绝域；
（1）利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题
（2）证明（1）中的拒绝域也是如下检验问题
的显著性水平为的显著性检验的拒绝域；
（3）在样本量n 较大时，利用中心极限定理给出近似的拒绝域. 【答案】（1
）泊松分布
的充分统计量是，
它是的无偏估计.
若原假设
成立，
则不应该很大，因此，当较大时，就应该拒绝原假设
所以此检验的拒绝域应有如下形式
其中c 应由给定的显著性水平确定，即c 由下列概率不等式确定
或
由于原假设成立下
则由
可得
不是一件易事.
（2）若将上述拒绝域作为（2）检验问题的拒绝域，我们只需要证明该检验的势函数是单调增的即可说明它也是（2）的显著性水平为a 的显著性检验. 此处该检验的势函数为
其中m 为如下整数
考察
的单调性，为此求其导数
所以势函数大.
（3）当样本量n 较大时，由中心极限定理可得原假设成立时
对给定的显著性水平有
的渐近分布
是的严格増函数. 由此可知，在原假设
上
在
处达到最
故
若令泊松分布
的
分位数为这里
的寻求还
所以在给定理时，
该检验的拒绝域为
即拒绝域W 中的临界
值
即当n=10时，若
4． 设总体为韦布尔分布
则应拒绝原假设其密度函数为
譬如
，，n=10
和时，
有
现从中得到样本
证明
仍服从韦布尔分布, 并指出其参数.
为
因而最小次序统计量这说明.
5． 设
的分布函数为
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明：（2）计算
和
的均方误差并进行比较；
的估计中，故
最优.
这说明是则Y 的密
都是θ的无偏估计；
【答案】由总体分布的密度函数可得总体的分布函数
（3）证明：在均方误差意义下，在形如【答案】（1）先计算总体均值为θ的无偏估计. 又总体分布函数为度函数为
于是有
这表明
也是θ的无偏估计.
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
故有
又