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一、证明题

1． 设

求证

：

联合

与

当当即得

2． 若

即得

和

两种情况考虑

.

，

时，

在R 上存在三阶连续导数，且

有

证明:将

.

至多是二次多项式.

在x 处作泰勒展开

将上两式代入所给的等式中，比较两端可得

当

时，有

由三阶导数的连续性，有

3． 设f 为定义在D 上的有界函数，证明：

⑴(2)

【答案】(1)

设

使得

即

. 则对一切

有

所以

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【答案】方法一：

方法二：分

时，

【答案】只需证：

即

对任意

存在

(2) 同理可证.

4． 设

在

上有

阶导数且

及

求证：【答案】将

.

在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

对

在a 点作同样的展开，有

将上式代入式(1) 可得

比较式(2) 、式(3) ，且有故

5． 利用施瓦兹不等式证明：

(1) 若在(2) 若在

上可积，则

上可积，且

则

(3) 若

都在

上可积，则有闵可夫斯基

不等式：

【答案】(1) 根据施瓦兹不等式，有

(2) 由有

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由微分中值定理

则

可积，且

知可积，从而可积，于是根据施瓦兹不等式，

(3) 由施瓦兹不等式，得

故

6． 设f (x ) 在

上可积，则

【答案】先证明事实上，由且

根据有

特别地，有

由f (x ) 在又因为

上可积可知，它在所以对上述，

上有界，即

当

于是，

当

时，有

即

7． 设子列.

【答案】因为取

则

是无界的，所以对使得

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在

收敛(即法，

在

上一致收敛. 关于y —致收敛) 及上一致收敛. 于是，

关于x 单调(

当

固定)

时

，

有

时，

有

是一个无界数列，但非无穷大量. 证明:存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛

使稩