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一、证明题

1． 若在

上连续可微，且

则

【答案】因为

且

所以

由施瓦兹不等式可知，

因此

其中S 是包围V 的曲面，n 为S 的外法线方

向

【答案】因

则由第一、二型曲面积分的关系及高斯公式可得

而

2． 证明公

式

因此公式成立。

3． 试用聚点定理证明柯西收敛准则。

【答案】设

收敛，令于是

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于是，对任给的存在正整数N , 使得当时，

有

设数列满足柯西收敛准则的条件.

如果集合

只含有有限多个不同的实数，则从某一

的极限.

如果集合

至少

中

都含有集合

项起这个数列的项为常数，否则柯西条件不会成立. 此时，这个常数就是数列有一个聚点

假如

无限多个点. 这与取

整数N ，当对于任意使得

有两个不等的聚点

存在正时，有存在N , 使得当因而，当

时，

故数列

收敛于

时，

矛盾. 故不妨设

令

则与

含有无限多个不同的实数，则由柯西条件容易得知它是有界的. 于是由聚点定理，集合

的聚点是惟一的，记之为 又因为是

的聚点，所以存在

二、解答题

4． 试问

是初等函数吗？

可由

复合而成，所以

是初等函数.

【答案】因为

5． 利用微分求近似值：

【答案】（1）令

（2）令由（3）令所以

（4）

令所以

则

则

得

则

6． 有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该怎样？

【答案】设底的半径为则

容器的高

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容器的表面积

于是

的极小值点，此时表面积为最小。

7． 求方程

【答案】令

由

得

故

又因为

故

是

即当底的半径与容器的高的比例为1:1时，容器的

恰有三个实根的条件. . 如图所示

.

图

由图可见，当

8． 设函数

【答案】

构造函数：

可知，

连续且有界。但是

在

时非一致连续.

当

取

令

当n 足够大的时候

出现矛盾，所以原命题成立.

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恰有三个实根.

内连续且有界，试讨论内非一致连续.

在

内的一致连续性.

在开区间在

反证法：如果函数一致连续，则对

时，