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一、证明题

1． 证明:

（1）无穷积分（2）无穷积分【答案】利用级数法. （1）原积分

而

当

时有

故

由

发散, 可知

发散, 从而原积分发散.

发散; 收敛.

（2）类似于（1）, 有原积分而

当

时利用不等式

, 有

9

故

由 2． 证明:

收敛, 可知收敛. 同理可证, 其中

, 因为

收敛, 从而收敛. 由此可知, 原积分收敛.

【答案】令

所以函数f （x ）在所以

, 即

3． 证明关于函数

（1）当（2）当【答案】即

（1）当（2）当

时, 式（*）两边同乘以x , 得到时, 式

两边同乘以x , 得到

时, 时,

上是凸函数. 因此

.

的如下不等式:

, 而

,

是不超过的最大整数, 因此

二、解答题

4． 设f 是一元函数, 试问应对f 提出什么条件, 方程2f （xy ）=f（x ）＋f （y ）在点（1, 1）的邻域内就能确定出惟一的Y 为z 的函数？

【答案】设且

因此只需

在x=﹣l 的某邻域内连续, 则F , F x , F y 在（1, 1）的某邻域内连续. 所以, 当

时,

方程

在

x=l的某邻域内连续, 且

5． 求

【答案】

, 则

就能惟一的确定y 为x 的函数.

.

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而

于是

原积分

6． 对n 次多项式进行因式分解

从某种意义上说, 这也是一个反函数问题, 因为多项式的每个系数都是它的, n 个根的已知函数

, 即

要得到用系数表示的根,

即

试对n=2与n=3两种情况, 证明:

当方程

无重根时,

函数组①存在反函数组②.

因为

无重根, 所以

所以由定理可知函数组①存在反函数组②. （2）当n=3时, 由于

所以

又

.

【答案】（

1）当n=2时, 由韦达定理（根与系数的关系）有