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一、证明题

1． 证明:曲面

可微, 常数a , b , c 不同时为零.

【答案】记

则

于是曲面

n 与某直线方向向量或

于是当l 1, l 2, l 3 满足

2． 设

时恒有

取1=（b , c , a ）,

上任一点的法向量为

垂直当且仅当

即

上任意一点的切平面都与某一定直线平行, 其中函数F 连续

则曲面 F （ax —bz , ay—cz ）=0 上任一点的切平面与l 平行.

是有界闭集

,

为E 的直径. 证明:存在知,

对

则存在

使使得

则令

3． 给定积分满足

证明:

【答案】利用复合函数的微分法, 有

通过计算易知

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而

【答案】由

均为有界闭集E 中的点列, 从而有收敛子列

得

即, 作正则变换

由于E 为闭集. 从而

, 区域D 变为

, 如果变换

注意到

可得

二、解答题

4． 计算下列二重积分:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）

【答案】（1）原式

=

（2）曲线:y=x将区域D 分为两部分D 1和D

2

, 所以

（3）所以

（4）积分区域为D :数, 所以

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2

, 其中D :, 其中

, 其中

其中D :►其中D :

.

.

,

其中在D 1内

. 在D 2内

,

,

其中, _.

, D 关于x 轴对称, 而函数’关于y 是奇函

从而原式=令

原式

, 则

•

•,

所以

（

5）方法一 积分区域关于直线y=x对称, 所以

故

方法二 作变换x+y=u

, x—y=v, 则D 变为

于是

, 所以

（6）积分区域关于y=x对称, 所以

于是

故

5． 求下列极限:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】

第 4 页，

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