2018年天津医科大学应用统计(专业学位)432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明: （1）（2）
【答案】（1）由下界，
需要费希尔信息量，大家知道，正态分布
的密度函数p （x ）的对数是
由此得
的费希尔信息量
从而
的无偏估计的C-R 下界为
无偏估计的方差相等，故此
是
，
的有效估计.
是
的有效估计；
是的无偏估计，但不是有效估计. 知
. 为了获得
的元偏估计的C-R
是来自正态总体
的一个样本，若均值已知，
此下界与上述（2）由于
可见，
，即是的无偏估计，其方差为
为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于
从而的元偏估计的C-R 下界为由于无偏估计的方差此处，
，
，故不是的有效估计.
的无偏估计的C-R 下界与的方差的比为
，
该比值常称为无偏估计的效.
2． 设
【答案】若
证明
:
服从贝塔分布，并指出其参数.
则X 的密度函数为
由其反函数为
上是严格单调增函数，
的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
3． 设
是来自
其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半. 的样本，的密度函数为
已知，试证明，
是
于是
所以的费希尔信息量为
，这就是说
又
这就证明了
，的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体
的任一无偏估计的C 一R 下界为
是的有效估计，从而也是UMVUE.
4． 设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与从而X 与即数，
由于
的特征函数为
所以
故
是实的偶函数.
样本方差分别为
5． 从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，
样本均值分别为
将两组样本合并，其均值、方差分别为
证明:
【答案】设取自同一总体的两个样本为由
得
由
得
6． 设总体X 的均值为凸线性无偏估计量. 证明:
【答案】由于其中
于是
先证充分性. 若是实的偶函数，则又因
有相同的特征函数，
有相同的密度函数，而X 的密度函数为
则X 与
所以得
有相同的特征函
关于原点是对称的.
有相同的密度函数，所以X 与
再证必要性，若
方差为与
的相关系数为
是来自该总体的一个样本，
为的任一
为的线性无偏估计量，故
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