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一、计算题

1． 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.

（1）写出X 的分布列；

（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. 【答案】（1）X 服从

的二项分布

即

（2）利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有

这表明:被盗索赔户在14与30户之间的概率近似为

2． 设a 为区间

上的一个定点，随机变量X 服从区间

上的均匀分布. 以Y 表示点X 以X 表示在随意抽查的100

到a 的距离. 问a 为何值时X 与Y 不相关.

【答案】由题设条件知

又因为

所以由此方程等价于

从中解得在

内的实根为

即

时，X 与Y 不相关.

可得方程

3． —个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾，然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接，求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率.

【答案】因为“六个尾两两相接”不会影响是否成环，所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况，若考虑头两两相接的前后次序，则“六个头两两相接”共有

种不同结果，即先

从6个头中任取1个，与余下的5个头中的任1个相接；然后从未接的4个头中任取1个，与余下的3个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，这总共有6! 种可能接法，这是分母，而要成环则第一步从6个头中任取1个，此时余下的5个头中有1个不能相接，只可与余下的4个头中的任1个相接；第二步从未接的4个头中任取1个，与余下的2个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，这总共有6×4×4×2×2×1种可能接法，由此得所求概率为

4． 若随机变量

【答案】方程

. ，而方程无实根等价于

无实根的概率为0.5, 试求. ，所以由题意知

由此得知.

5． 甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球.

（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球. 试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；

（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球. 试求最后从乙口袋取出的是白球的概率.

【答案】记事件A 为“从乙口袋取出的这个球是白球 （1）对甲口袋取出的球是白球或黑球，使用全概率公式可得

（2）对甲口袋取出的两个球分三种情况:两个白球、一黑一白、两个黑球. 使用全概率公式可得

6． 设

求X 和Y 的相关系数； 证明:

且记

证明:X 和Y 独立的充要条件为A 与B 独立. 【答案】

由题意可知,

的概率分布如下:

表

由

X 和Y 相互独立

7． 某地区漏缴税款的比率X 服从参数a=2, b=9的贝塔分布，试求此比率小于漏缴税款的比率.

【答案】贝塔分布

的密度函数为

因为

，所以

，因此

8． 设随机变量X 服从伽玛分布

【答案】伽玛分布

，试求

的密度函数为

由于

，因此所求概率为

的概率及平均

二、证明题