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2017年北京科技大学0701综合一（同等学力加试）之量子力学复试仿真模拟三套题（一） . 2 2017年北京科技大学0701综合一（同等学力加试）之量子力学复试仿真模拟三套题（二） . 9 2017年北京科技大学0701综合一（同等学力加试）之量子力学复试仿真模拟三套题（三） 18

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一、计算题

1． （1）求算符【答案】⑴

即算符⑵则

2． 设氢原子处于状态：

（a ）测得该原子的能量的可能值为多少? 相应的概率又为多少？

（b ）测得的角动量分量的可能值和相应概率为多少?[湖南大学2009研] 【答案】（a ）氢原子能级

对应概率为：

对应概率为：

（b ）由题意，m=l, ﹣1，0

而可能取值为故

可能取值有

对应概率

对应概率

对应概率

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的对易关系. （2）证明其中

不对易.

得证.

a 为玻尔半径. 故氢原子可能能量为

3． 简述能量的测不准关系。

【答案】能量测不准关系的数学表示式为

即微观粒子的能量与时间不可能同时进行

准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。

4． 对于一维无限深势阱（1）写出单粒子能级

和波函数

的全同粒子在此势阱中，写出此系统基态和第一激发态的

（2）如果有两个无相互作用的自旋为能量值和波函数。

【答案】二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为：

（1）

基态：

空间部分波函数是对称的

：自旋部分波函数是反对称的：

总波函数：

（2）第一激发态：空间部分波函数：自旋部分波函数：

二电子体系的总波函数：

基态不简并，第一激发态是四重简并的。

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5． （1）写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学方程； （2）考虑由2

个全同费米子（

表示出体系可能的状态。

【答案】（1）全同粒子系的波函数：对称性波函数；

反对称性波函数。其随

）组成的体系，

设可能的单粒子态为

试用

时间演化的动力学方程：

（2）用

表示出体系可能的状态如下：

6． 粒子在一维无限深势阱中运动. 设该体系受到的微扰作用。（1）利用微扰理论求第n 能级的准至二级的近似表达式. （2）指出所得结果的适用条件. 【答案】（1） 一维无限深方势阱：

体系的零级近似波函数和零级近似能量

求到二级，矩阵元一般形式

则第n 能级的二级近似能量

（2）结果适用的条件是：

即

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