2017年东华大学F1105物理学综合之量子力学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． —质量为m 的粒子限制在宽度为2L 的无限深势阱当中运动. 势阱为现在势阱的底部加一微扰态的能量。
【答案】未施加微扰前，粒子本征波函数以及相应本证能量为
显然为非简并态。
微扰为故
由
故激发态的一级近似能量为
2． 算符
相应的本征矢在表象中的表示。 【答案】因为
如
所以，它的本征值为
则
故
其中
试利用一阶微扰理论计算第n 激发
是电子自旋算符经么正变换而得。试求出它的本征值和
相应的本征值在表象中的表示：
本征值为本征表示为
本征值为
3． 在【答案】
本征表示为
表象中，求
是
方向的单位矢。
的本征值和本征态，这里，
本征方程为：即：
由此得：即：
有非零解的条件是：由此得：可求得与
对应的本征矢为：
与对应的本征矢为：
4． 假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场S 沿轴正向，电子磁矩在均匀磁场
中的势能表示
；
这里
为电子的磁矩。自旋用泡利矩阵
（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：
（2）假设（3）求
时，电子自旋指向x 轴正向，即时，电子自旋指向y 轴负向，即
求时，自旋的平均值。
的几率是多少？
【答案】（1）忽略电子轨道运动，其中，所以哈密顿为：薛定谔方程为：（2）在
是玻尔磁子。
表象中求解，自旋波函数可表示为：
即：
其中，设
因此可得：
时，电子的自旋指向x 轴正向，对应波函数为
在时刻t ，自旋的平均值：