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一、计算题

1． 粒子在一维无限深势阱中运动. 设该体系受到的微扰作用。

（1）利用微扰理论求第n 能级的准至二级的近似表达式. （2）指出所得结果的适用条件. 【答案】（1） 一维无限深方势阱：

体系的零级近似波函数和零级近似能量

求到二级，矩阵元一般形式

则第n 能级的二级近似能量

（2）结果适用的条件是：

即

2． 氢原子处于状态

（1）求轨道角动量的z

分量的平均值。 （2）求自旋角动量的z

分量的平均值。

（3）求总磁矩的z 分量

的平均值。

【答案】⑴

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3． 算符

相应的本征矢在表象中的表示。 【答案】因为

如

所以，它的本征值为

则

故

是电子自旋算符经么正变换而得。试求出它的本征值和

相应的本征值在表象中的表示：

本征值为本征表示为

本征值为本征表示为

4． 力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？

【答案】力学量在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为的本征值。 5． 取上表达式中

为试探波函数，应用变分原理估算粒子在势场

均为常数，且

利用波函数的归一化

由

可得，

代入可得基态能量

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中的基态能量. 以

【答案】试探波函数从而

6．

若有已归一化的三个态交，归一的新的态矢量

【答案】因为设由

所以

和

和]

贝IJ :

得：

同理，设由

代入上式，得：

故：

7． 两个无相互作用的粒子（质量均为m ）置于一维无限深方势阱（函数。

（1）两个自旋为的可区分粒子。 （2）两个自旋为的全同粒子。

【答案】（1）对于自旋的二个可区分粒子，波函数不必对称化。 基态：总能量为

而波函数为

有4重简并。

则：

因此：

且有

试用Schmidt 方法构成正

）中。对下列两种情况

写出：两 粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波

第一激发态：总能量为其波函数为有8重简并。

（2

）自旋非简并。

的二个全同粒子，总波函数必须是反对称的。故基态:

总能量为

波函数为

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