2017年复旦大学管理学院725高等数学考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设数形式. 令
是由方程代
则
所确定的隐函数，试求
【答案】
欲将从所给的方程中解出来是非常困难的，甚至是不可能的，因此，必须引入参入所给的方程可得
故
2． 若f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区
域
【答案】
假设存在
使得对一切故必在D 上
使得
，
有
不妨设
则
由连续函数的保号性知：
存在
，
与已知
矛盾. 上
有
二、解答题
3． 设果
有根，就只能有一个根. 【答案】设
使得
首先有.
事实上，由假设
其次，假定存在证明可得
再在
这与
4． 设以
的假定矛盾.
为新的自变量变换下列方程：
是非负函数，在上二阶可导，且求证：方程在内如
（不妨设上对，
使得）那么根据上述使得
用罗尔中值定理，则存在
【答案】⑴所以
将
代入原方程，并化简得，
所以
将上述
代入原方程，并化简得
5． 等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义.
【答案】设旋转角与时间的函数关系为
则时刻t 到
而时刻t 的角速度定义为 6． 设
其中
有限区间
由于
再由
7． 设
在在
求的收敛半径为任一有限闭区间.
上连续，
上一致连续，
于是有
在
上一致收敛于
在任意区间内是一致收敛的，对任意
一致收敛于
，令，
试证明.
在
]
上一致收敛于
内的平均角速度为
【答案】由题意知，
上一致有界，所以
【答案】用泰勒公式，
两边积分可得
由此可得f （X ）的泰勒展开式
于是，有
若令
则上式可改写为
综上，有
其中I 为自然数.
8． 求极限
【答案】考虑二元函数
易知f (x , y )
是数，因此
故
上的连续函数，
从而积分
是
上的连续函