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一、证明题

1． 证明：

【答案】将原不等式变形为

这样就将问题转化为求令

解之可得，在D 的内部有惟一驻点(1，1) ，且注意到，

下面求f (X ，y ) 在D 的边界上的最大值. 在y=0上，令最大值为

综上，f (x ，y ) 在D 上的最大值为

2． 设f 在

(c 为常数). 【答案】由题意可知，故

其中

3． 证明：若数列

收敛于a ，则级数

【答案】级数的前n 项和

.

而

所以

即

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成立.

在区域上的最大值.

所以f (x ，y ) 在D

的内部最大值为

和

，可得驻点

此时

因此，f (x ，y ) 在y=0上的

即

同理，f (x , y ) 在x=0上的最大值为

上有任何阶导数，

记且在任何有限区间内

，

试证

在任何有限区间内连续，且

由

积分可得

故

为常数.

二、解答题

4． 求下列不定积分：

【答案】（1）原积分

（2）原积分

（3）原积分

5． 设

【答案】(1) 由(2)

设 6． 求

（a 为常数）.

【答案】（1）当a=-1时，

（2）当

吋，

故

7． 计算外侧。

【答案】由高斯公式，然后再由球坐标变换得

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试求

，得

得

则

其中为圆锥曲面被平面z=0，z=2所截部分的

8． 用抛物线法近似计算

【答案】当

时，

当

时，

当

时，

9． (1) 求表面积一定而体积最大的长方体；

(2) 求体积一定而表面积最小的长方体. 【答案】(1) 设长方体的长、宽、高分别为制条件为：

令

解得

因所求长方体体积的最大值，且稳定点只有一个，所以最大值定而体积最大的长方体是正立方体.

(2)

设长方体的长、宽、高分别为

设

体积为v ,

则表面积

令

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（分别将积分区间二等分、四等分、六等分）.

表面积为则体积为限

故表面积一限制条件