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一、证明题

1． 证明

：

【答案】因为

所以

所以

2． 设

取充分性，若则当n>N时，有

3． 设

当n>N时，有

则即

即当n>N时，

有

即

对

取

证明

的充要条件是

则

当时，有

又因为

所以

对

【答案】必要性，若

证明:f 在D 上连续，但不一致连续.

【答案】显然，f 在D 上是连续的，仅证f 在D 上不一致连续.

取当

无论及

时，

取得多么小，当

取到某个，n 时，

总能使

从而 4． 设

【答案】因

证明

单调递増趋于无穷，故利用Stolz 公式

在D 上不一致连续.

5． 通过对

【答案】在

则

即.

6． 证明级

数

【答案】 充分性 任给正数当然对

存在正整数N , 对一切

总有

的m 有

从而

由柯西准则知级数必要性 若级数特别地，取

7． 设

证明:【答案】因为

收敛.

收敛，由柯西准则知对任给正数n 存在自然数

则对任意

有

是[0, 1]上连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于

>是[0, 1]上的连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于

施用中值定理，证明对某有

中，令

收敛的充要条件是:任给正

数

存在某正整数N , 对一

切

总

有

当时，

所以f (x ) 在[0, 1]上

连续，从而

故本题等价于证明

D.

因为

在[0, 1]上一致收敛于f (x ) , 所以对任意的

有

即

从而结论得证.

有n+1个相异的实根，则方程

并且

使得

.

上应用罗尔中值定

即.

至少有n-1个相异实根. 如此继

至少有对f (x ) 在

8． 证明：设f 为n 阶可导函数，若方程. 一个实根.

【答案】设方程. 区间

上应用罗尔中值定理知，

存在

即

至少有n 个相异实根. 再对

使得

在n-1个区间

理知，存在

的n+1个相异的实根为

存在

从而对任意的

使得

续下去可得至少有n-2个相异实根至少有一个实根.

9． 设f 是以2π为周期的可积函数，证明对任何实数c ，有

【答案】令

则

同理可证

10．证明：