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一、证明题

1． 设函数f 在

【答案】设由于是

2． 设

得

同理，由

也可推出

在集合上有界，求证：

【答案】由下确界定义有

移项即得

由下确界定义有

即得要证的第一式，又因为

与

所处的地位是对称的，故第二式也成立.

因此，

上满足方程令

且

则

，由归结原则得

证明,

二、解答题

3． 求

型的不定式，都非常复杂，但用等价无穷小量替换可使

【答案】该题无论是化成

型还是问题简化. 因为

所以原极限

4． 计算曲线积分

和点【答案】

其中

和

为连续函数; AMB

为连接点

的任何路线，但与直线段AB 围成己知大小为S 的面积。

5． 展开函数

为正弦级数，并指出当

时，此级数之和.

【答案】将f (x ) 作以2π为周期的奇延拓，

故对

6． 证明施瓦茨不等式：若

和

在

上可积，则

【答案】

因为

所以

若

则即

上述级数收敛于

即

等式成立；若上式是关于t 的二次三项式，且非负，

于是有判别式

故

7． 计算线积分

【答案】记S 是平面，面的单位法向量

由斯托克斯公式得

8． (1) 计算积分

(2) 设

在闭正方形

上连续，且满足下列条件：

证明存在

这里A 是(1) 中的积分值. 【答案】(1) 如图所示：

使得

其中C 为球面被球面，

与平面.

的交线，

从Ox 轴正向看去，C 是依反时针方向进行的。

所截下的那部分，取上侧，即取平

图

所以