2017年辽宁师范大学城市与环境学院601高等数学考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求旋转抛物面
【答案】联立
，得
在三坐标面上的投影.
. 故旋转抛物面在xOy 面上的投影为
如图所示
图
联立区域.
同理，联立围成的区域.
2． 计算下列各导数:
【答案】
得
. 故旋转抛物面在xOz 面上的投影为由
及z=4所
得
. 故旋转抛物面在yOz 面上的投影为由
及z=4所围成的
3． 计算下列三重积分：
（1）分；
（2）（3）所围成的闭区域。
【答案】（1）解法一：利用直角坐标，采用“先重后单”的积分次序。 由
解得
，于是用平面
把分成
和
两部分，其中
，其中是由球面
，其中是由xOy 平面上曲线
所围成的闭区域；
绕x 轴旋转而成的曲面与平面x=5
，其中是两个球：
和
的公共部
（图）
图
于是
解法二：利用球面坐标计算。作圆锥面
，将分成
和
两部分
于是
（2）由于积分区域关于xOy 面对称，而被积函数关于z 是奇函数，故所求积分等于零。 （3）积分区域由旋转抛物面因此可表示为
于是
和平面x=5所围成，在yOz 面上的投影区域
4． 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性：
【答案】设级数的部分和为S n 。 （1）因为