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一、证明题

1． 证明:若明:

与

是未知参数

的两个UMVUE , 则

依概率几乎处处成立. 这个命题表

的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出于是

几乎处处成立. 在区间

上服从均匀分布.

代入函数

是0的无偏估计，则已知

由此立即可得几乎处处成立，即

2． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:

【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当当

的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数

的图形知它的最大值是

是不可能事件, 所以

是Y 的分布函数的分段点. 时, 时, 则

当

时,

下面求Y 的分布函数

综上所述, 得到Y 的分布函数为上式恰好是区间即证明了

3． 令【答案】

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上服从均匀分布的随机变量的分布函数, 在区间（0, 1）上服从均匀分布.

表示服从二项分布的随机变量，试证明:

4． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:

其中参数

（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若

【答案】（1）因为

时，记Y=X, 试证

相互独立，且服从同一柯西分布，试证:

的密度函数为

y 的特征函数为

下证柯西分布的可加性，设若

与

相互独立，则

这正是参数为为

（2）当所以

由于

当然X 与Y 不独立.

不能推得X 与Y 独立. 的柯西分布，则特征函数为

由相互独立

此题说明，由

（3）设

都服从参数为性得:

即

5． 设

也是一个分布函数.

【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因

为

都是分布函数，故

当

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常记为

且利用此结果证明柯西分布的可加性；

但是X 与Y 不独立；

与

同分布.

由此得服从参数为

的特征函数

的柯西分布，其密度函数为

的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，

时有

服从参数

的柯西分布.

的特征函数为

与具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布.

都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明

:

时，有

于是

（2）有界性. 对任意的X ，有

且

（3）右连续性.

6． 设

是来自

的样本，

为其次序统计量，令

证明【答案】令作变换

相互独立.

则

的联合密度函数为

其中

联合密度函数为

其雅可比行列式绝对值为

该联合密度函数为可分离变量，因而相互独立，且

7． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则

【答案】记这正是二项分布

8． 设由

明:样本相关系数r 满足如下关系

上式也称为回归方程的决定系数.

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且X 与Y

因为

的特征函数，由唯一性定理知

所以由X 与Y 的独立性得

可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证