2017年江西理工大学通信与信息系统之数字信号处理考研复试核心题库
● 摘要
一、综合题（计算、解答、证明）
1． 假设信号
及其频谱
如图所示。按因子D=2直接对x （n ）抽取，得到信号y （m ）
=x （2m ）。画出y （m ）的频谱函数曲线，说明抽取过程中是否丢失了信息。
图
【答案】由抽取原理知道，按因子D=2对得到信号带宽为
丢失原信号
中
抽取时，抗混叠滤波器的截止频率为
D = 2, 而的频率成分信息。本题中，
所以的
所以，抽取过程中不会丢失信息。由时域采样理论，画出y （m ）的频谱如图所示。
图
2．
已知序列
现令：
求有限长序列
。
【答案】据频域采样理论可知，频域采样将导致时域上序列的周期性延拓相加；
收敛域
而所以有：
存在且
所以：
相应的单位脉冲响应为
我们用
3．
待设计滤波器的理想频率响应为
若是一个N 点
滤波器的单位脉冲响应，相应的频率响应为表示两者的均方误差
（1）误差函数
试求
（2）试利用
表示均方误差
并以
可以表示为离散时间傅里叶变换
和
表示之。
形式：
（3）试证明对于N 点的有限长单位脉冲响应来说，当
时， 达到最小值。也就是说，在N 固定的前提下，矩形窗能给出频率响应的最小均方误差逼近。
【答案】
当时令时最小，即：
4． 证明插零和滤波的顺序是可交换的，即证明图中的（a ）和（b ）两个结构等效。
图
【答案】对于其中，对于（b ）图有
图有
①
②
. 故图中（a ）、（b ）两个结构等效。 ①式和②式中的最后结果完全相同，即
5． 用矩形窗设计线性相位低通FIR 滤波器，要求过渡带宽度不超过希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数
为
（1）求出理想低通滤波器的单位脉冲响应（3）简述N 取奇数或偶数对滤波特性的影响。 【答案】⑴
（2）为了满足线性相位条件，
要求
所以要求
求解得到
N
为矩形窗函数长度。因为要求过渡带宽度加矩形窗函数，得到
（3）N 取奇数时，幅度特性函数
关于
三点偶对称，可实现各类幅频特性；N 取
表达式，确定与N 之间的关系；
（2）求出加矩形窗设计的低通HR 滤波器的单位脉冲响应
偶数时，关于奇对称，即所以不能实现高通、带阻和点阻滤波特性。
6．
某连续信号的幅频特性如图1所示。对它抽样后通过一个截止频率为
的理想数字低通滤波器，该滤波器的系统抽样频率
也是
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