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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 证明，任何非因果的

系统，都可以通过与某种系统级联而变成因果系统。

系统的单位抽样响应

为有限长序列，则:

在假设

与某一全通时延系统

相级联，

则两个系统级联后的等效系统为

所以，只要

级联

【答案】假设系统是非因果的，因为

后的系统就是因果的。

2． 采用双线性变换法设计一个二阶巴特沃斯数字低通滤波器，要求采用预畸变措施修正频率的非线性失真。已知二阶归一化巴特沃斯模拟滤波器的传递函数为：

已知系统抽样频率为

滤波器的通带截止频率方

请解答下列问题：

（1）数字低通滤波器的通带截止频率是多少?

（2）设计出满足要求的数字滤波器的系统函数的表达式（大于1的数近似成整数）; （3）写出相应的差分方程，并画出系统的直接型网络结构流图。 【答案】（1）己知系统抽样频率为1000Hz ，滤波器的通带截止频率方通滤波器的通带截止频率为:

（2）采用预畸变措施修正频率的非线性失真:

所以系统函数为：

（3）因为系统函数为：

，所以数字低

对上式求Z 逆变换得差分方程为：

即：

由上式得直接型结构流图如图所示：

图

3． 已知. （1）收敛域（2）收敛域【答案】

（1）收敛域

时，C 内有极点0.5,

分别求：

对应的原序列x （n ）; 对应的原序列x （n ）。

n ＜0时，c 内有极点0. 5、0，但0是一个n 阶极点，改求c 外极点留数，c 外极点只有2，

最后得到

（2）收敛域

时，C 内有极点0. 5、2,

n ＜0时，c 内有极点0. 5、2、0，但极点0是一个n 阶极点，改成求c 外极点留数，可是c 外没有极点，因此x （n ）=0 最后得到

4． 设信号

.

这里

的最高频率为

用奈奎斯特抽样率

对抽样，得到离散信号

变换之后，

和模拟滤波器

为抽样周期（间隔）。试说明

的截止频率为

经过图所示的插零处理和

能够完全恢复原信号这里不考虑量化误差，

并且假设数字滤波器

都是理想的低通滤波器

，的截止频率为，

图

【答案】设在其一个周期

率仍为的频率

由于

间获得但由于

系为

的频谱

与频谱或者的频谱为

它

.

得到信号

之

而抽样间隔为

的截止频率为

的频谱的一个完整的周期，即在和

的抽样间隔为

因此频

谱完全相同，

故

再经过理想低通数字滤波器

故

故它们的数字角频率

即在

经过截止频率为

由于之间或者

为奈奎斯特抽样率，故x （n ）的频谱不会混叠。

之间

的频谱为

其最高频

x （n ）经过因子为2的插零处理后，其频谱被压缩一倍，并且产生了镜像，形成信号

在频率的一个周期

之间的x （n ）的压缩频谱

与模拟角频率之间的关

这一个周期内

，的理想的模拟低通滤

如果用模拟频率来表示

为

其边界频率就应该

是波器之后，得频谱为

5． 已知有限长序列DFT 。

【答案】

的信号，即原模拟信号

的DFT 为X （k ），试利用X （k ）导出下列各序列的