2018年天津医科大学流行病与卫生统计学614数学综合之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． （1）叙述极限
【答案】（1）设任给（2）设对任何取则
2． 试问函数
, , 对任给的
并且存在实数
在
总存在得
故
不存在.
的柯西准则
不存在的充要条件, 并应用它证明上有定义, 极限使得对任何
上有定义, 极限
使得
'-fi
不存在的充要条件是:
不存在.
存在的充要条件是:
（2）根据柯西准则叙述
在
在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论, 为什么?
, 所以, 柯西中值定理的第3个条件（不同时为零）得
【答案】显然, f （x ）和g （x ）在区间[-1, 1]上连续, 在区间（-1, 1）内可导,
不到满足, 不能应用柯西中值定理得到相应的结论.
3． 是否存在
由
时, 由
由又知由于是
这与连续, 可知
存在及的连续可导函数
知,
为满足:在
且
则
当
【答案】方法一 若存在满足这些条件的函数,
上严格单调递増, 又
由
存在, .
根据单调有界定理,
从而存在, 必有
矛盾, 所以假设不成立,
所以这样的函数不存在.
方法二 假若存在满足这些条件的函数, 由又由对于是从而
, 得有
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知在
上严格单调递增,
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显然, 当时,
有这与条件矛盾, 所以这样的函数不存在.
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． 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛:
⑴（3
）
【答案】（1）令
（2）
（4）
dx=2tdt
而当
, 有
9
而当又
而
（2）
绝对收敛
.
（
3）令令
. 则
可见
时, g （X ）在
上单调趋于0,
由狄利克雷判别法知,
由狄利克雷判别法知. 散
,
并且综上所述, （4）当
时,
由
且, 则
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,
时, 单调趋于0. 故由狄利克雷判别法知:收敛
.
是发散的. 故发散. 所以在
, 由定理推论
3.
是条件收敛.
收敛. 再由定理
,
, 则
>
收敛.
收敛. 但由于
, 故
发散.
, 发
条件收敛.
发散, 故发散, 于是
发散, 且有
令
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所以. 当
时, g （x ）是单调递减的, 且有, 由狄利克雷判别法,
由此得
可以证明
发散. 用上面证明收敛.
故
令
收敛, 于是
收敛的方法,
条件收敛.
, 则
收敛.
5． 作极坐标变换, 将二重积分
化为定积分, 其中【答案】如图所示:
•
图
令
, 则
6． 讨论下列函数在给定点或区域上的连续性:
（1）（2）
【答案】（1）因为
而当0 即当0 第 4 页，共 33 页 （p>0）, 在点（0, 0）处; 在其定义域上. , 所以