2017年长江大学应用数学806数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若函数，在光滑曲线L
:
. 其中
为的弧长.
存在，且
又因f 在L 上连续，L 为光滑曲线，所以值定理知：
使
令
2． 设
(1) 在(ii )
在试证明【答案】先证明条件(ii ) ，存在
因此，当令不妨设下面证明对于
因为且
充分接近时，可使
再将y 固定，由条件(i ) ，存在
因此
即
_
当所以
时，有
由条件(i ) 得
利用(ii ) 及前面的结论，当
当
时，且存在.
时，且
有
根据柯西准则，可证
存在.
就有
点
显然的某邻域
上，对每个时，对所有
只要
所以
上有定义，且满足： 存在极限
都有
(即对任
意
成立) .
存
在
当
在
上连续，由积分中
上连续，则存在点
...
使得
【答案】由于f 在光滑曲线L 上连续，从而曲线积为
上，关于一致地存在极限
-
3． 证明：若函数f 在有一点
使
上连续，且
使
使
得可得
则当
使得
则在时，
内至少
【答案】用反证法. 如果在(a ，b ) 内不存在
根据连续函数的介值定理，存
在
再由
总成立. 否则，若存在：
这与假设矛盾. 设
当
故
4． 求证：
(1) (2)
【答案】(1) 令
这与题
设矛盾. 故
在内至少存在一
点
使
注意到
有
(2) 由第(1) 小题得，
于是，对任给定
取
.
当n>N时，便有
所以
二、解答题
5． 设有一吊桥，其铁链成抛物线形，两端系于相距100m 高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下10m 处，求铁链与支柱所成之角.
【答案】建立如图所示的坐标系，则悬点A ，B 的坐标分别为（50, 10）和（-50，10）. 由此得铁链的方程为
于是
铁链与支柱所成之角
图
6． 计算二重积分
其中是双纽线【答案】令
则双纽线方程为
围成的区域.
(如图) :
图
由于区域和被积函数关于x 轴对称，故
7． 计算下列引力：(1) 均匀薄片引力；(2) 均匀柱体
对于点
对于轴上一点
处的单位质量的
处的单位质量的引力；(3) 均匀密
度的正圆锥体(高h , 底半径R ) 对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.
【答案】(1) 设物体密度为U , 由对称性，引力必在Z 轴方向上因此
故
(2) 设物体密度为
则由对称性知
，
下求F ；
故
其中k 为引力系数.
(3) 设物体密度为p ，由对称性知
只需求
，设顶点坐标为