2017年郑州大学数学与统计学院915高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1． 4
为有限维欧氏空间的一个标准正交组，对
是V 的基. 【答案】设由
生成的子空间为
即
所以
又
所以由即
2． 设
所以
知
从而
为V 的基：
是K 上三元n 次齐次多项
设
均有
那么
结合正交组线性无关知
为数域K 上全体n+1阶对称方阵作成的K 上的线性空间，
元素是1其余元素全为零的n+1阶方阵，令
式作成的K 上的线性空间. 证明：
【答案】令则所有数是
又易知所有非同类项的
项数，亦即从三个元素
这也就是
的维数. 由于
都是n+1阶对称方阵，共有
个且显然为
的一基. 因此，
的维
作成的一基，其个数就是’展开后
中每次取n 个的重复组合数，即
的维数相同，故同构.
3． 设令
V 关于矩阵加法及数乘构成P 上的线性空间，A , B，C , D为P 上固定的n 阶方阵，
故A , B均可逆，令（恒等变换）故可逆
. 或
于是
不妨设
则齐次线性方程组这与可逆矛盾.
有非零由（1）知
证明：当C=D=0时，可逆【答案】r 是V 的
线性变换，直接验证可知
反证，
若
解，故存在
4． 设
则
使得若
则
是任意复数，求矩阵
的特征值与特征向量. 【答案】若量.
若
则
于是是B 的n 重特征值, 任意非零列向量都是的特征向
是次数大于零的多项式，令
不全为0, 则多项式
则
5． 设A ，X ，B 分别是
（1）矩阵方程AX=B有解（2）在有解的情况下，【答案】（1）记
则
，
矩阵，证明
有唯一解；r （A ） 若AX=B有解，设 是其解， 于是B 的列向量可以由A 的列向量线性表示，进而（A ，B ）的列向量可以由A 的列向量线性表示，故 . 又 故 ，那么A 的列向量的极大无关组也是A ，B 的列向量的极大无关如果r （A ）=r（A , B ） 组，于是B 的列向量可以用A 的列向量线性表; 设为 故（2）记 ，记全有解. 由r （A ）=r（A , B ）, 贝lj , r （A ）=r（A , ）, j=l, 2, …, S. 当r （A ）=n时，线性方程组 有唯一解，故AX=B有唯一解. 当r （A ）≤n , 有 无穷多解，故AX=B有无穷多解. 6． 设是n 维线性空间V 的一组基，A 是一nXs 矩阵 ， 证明：的维数等于A 的秩. 【答案】 是V 的基，则有线性空间的下列同构 上面Z 是 在基 下的坐标作成的列向量. 在这同构对应下，线性组合对应成线 在基 下的坐标列向量是 不妨设 的极大线性无关组为 是 则 的线性组合. 于是 是线性无关的. 因任意 是 是 的极大 的线性组合， 故任意 性组合，线性无关对应成线性无关. 设向量组 则将它们按列排成矩阵就是A. 即 则C 是矩阵方程AX=B解. 于是AX=B有解的充要条件是：线性方程组 线性无关组. 即r 是A 的秩. 7． 用消元法解下列线性方程组： （1） （2） （3）