2017年郑州大学数学与统计学院915高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 是mxn 矩阵，关，且AB=0, 如
【答案】因为又的列仏，
线性表示，并且表法唯一.
令
可得
即
2． 设A , B 为n 阶方阵且矩阵且主对角线上元素为
【答案】由于化且特征根为
从而A 的最小多项式整除
无重根，A 可对角
故A 满足
证明：存在可逆方阵P , 使
与
同时为对角
使
且A 的行向量线性无关，B 是的解，则
有唯一解.
个向量.
可由B
所以AX=0的基础解系含
矩阵，B 的列向量线性无
又AB=0, 所以B 的列向量均为AX=0的解•
从而B 的列是AX=0的一个基础解系. 考虑是AX=0的解，所以
于是存在可逆方阵使
令则由得
即又由对
可得
从而
由此得为r 阶，为阶.
同理由上知，存在可逆方阵
使
其中
令
且则可得
3． 设
求解方程
【答案】由已知条件可得
由方程组①可得所以
若记
则由②得
故原方程的通解为
其中k 为任意常数.
4． 试证：n 维欧氏空间的内积是一个双线性函数
【答案】
是V 上一个二元函数，且
是一个双线性函数.
，有
5． 设A 为m ×n 矩阵，E 是n 阶单位方阵. 证明：
①XA=E（X 为nXm 未知矩阵）②由AB=AC可得其中B ，C 都是n ×s 矩阵. 【答案】①设A 的行向量组为n 元单位向量）.
若矩阵方程XA=E有解，则说明反之，若r （A ）=n，则n 元向量组示，
当然C ，即B=C.
反之，设AB=AC，则必r （A ）=n.因若r （A ） 6． 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和为3, 向量 的两个解. （1）求A 的特征值与特征向量. （2）求正交矩阵Q 和对角阵D ，便（3）求行列式【答案】（1）由到A 是3阶矩阵，故不全为0的实数； （2）将 正交化，则 再单位化，得 将单位化，得 令 则Q 是正交矩阵，D 是对角阵，且（3）由A 的全部特征值为B 的全部特征值为 且 则于是 E 的行向量组为，（均为几元行向量）可由 （即 线性表示，从而 的秩是n ，从而任何n 元向量都可由它线性表 也可由它线性表示. 由组合系数所构成的n ×m 矩阵即为XA=E的解. =n，B=②若r （A ）则由上知方程XA=E有解X=K，即XA=E.于是由AB=AC可得（KA ）（KA ） 是线性方程组 其中B 是 的相似矩阵， 是B 的伴随矩阵. 的两个线性无的特征向量. 注意 是 是线性方程组的解，则是A 的属于特征值是A 的属于特征值 关的特征向量. 由A 的各行元素之和为3, 则 是A 的特征值，对应的特征向量分别 的全部特征值为 由 则
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