2017年山东科技大学常微分方程和概率论之概率论考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 的分布函数为
试求
2．
是取自总体X 的样本，已知y=InX服从正态分布N （μ, 1）
（1）求μ的置信水平为95%的置信区间；
（2）求X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间. 【答案】（1）将数据进行对数变换，得到y=InX的样本值为
它可看作是来自正态总体N （μ，1）的样本，其样本均值为信水平为95%的置信区间为
（2）由于95%的置信区间为
3． 考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量（单位：mg ）为
设鱼的含汞量服从正态分布试检验假设（取
当α=0.10时，查表知
由样本观测值计算得到
故在显著性水平0.1下接受原假设.
4． 掷一颗骰子100次, 记第i 次掷出的点数为求概率
点数之平均为
试
是的严増函数，利用（1）的结果，可算得X 的数学期望的置信水平为
由于σ=1已知，因此，的置
【答案】这里X 是连续随机变量，所求概率分别为
）.
【答案】这是在总体方差未知下关于正态分布均值的单侧检验问题，
检验的拒绝域为
【答案】由题意可得
利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可得
这表明:掷100次骰子点数之平均在3到4之间的概率近似为0.9966, 很接近于1.
5． 甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a 个错字，乙发现b 个错字，其中共同发现的错字有c 个，试用矩法给出如下两个未知参数的估计：
（1）该书样稿的总错字个数； （2）未被发现的错字数.
【答案】（1）设该书样稿中总错字的个数为甲校对员识别出错字的概率为出错字的概率为
根据频率替换思想有
由独立性可得矩法方程
解之得
乙校对员识别
由于甲、乙是彼此独立地进行校对，
则同一错字能被甲、乙同时识别的概率为
（2）未被发现的错字数的估计等于总错字数的估计减去甲、乙发现的错字数，即
譬如，若设a=120, b=124, c=80, 则该书样稿中错字总数的矩法估计为
被发现的错字个数的矩法估计为186-120-124+80=22个.
6． 设曲线函数形式为y=a+blnx，试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.
【答案】令u=lnx，v=y，则原曲线函数化为V=a+bu，即为一元线性回归的形式.
7． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
（1）求（2）求（3）求【答案】（1）
的非零区域与
的交集为图（a ）阴影部分, 所以
（2）
的非零区域与
的交集为图（b ）阴影部分, 所以
而未
又因为的非零区域与的交集为图（c ）阴影部分, 所以
（3）的非零区域与的交集为图（d ）阴影部分, 所以
图
8． 为了比较测定污水中氯气含量的两种方法，特在各种场合收集到8个污水水样，每个水样均用这两种方法测定氯气含量（单位：mg/L）, 具体数据如下：
表
试用成对数据处理方法比较两种测定方法是否有显著差异，请写出检验的P
值和结论（取）
【答案】一个水样用两种方法测定，测量数据是成对数据，其差侧，诸在的样本均值与样本标准差
现在要检验的假设为
分别可算得：
列在上表数据的右
使用的检验统计量及其值如下
对给定的显著性水平由于
其拒绝域为
查表知
故应拒绝原假设即两种测定污水中氯气含量的方法间有显著差