2017年山东大学威海校区825线性代数与常微分方程之高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 设
是由曲面
关于
坐标面对称，则
与
所围成的区域，则
_____。
【答案】
【解析】x 是z 的积函数，积分域
2． 设有直线L 1：
【答案】
【解析】设所有平面的法向量为k , 由题设知：
由于所求平面过L 1，则点（1, 2, 3）在所求平面上，则所求平面为
3． 已知幂级数为_____。
【答案】（0, 2]
【解析】利用阿贝尔定理，
由于幂级数
处收敛；
由于幂级数
处发散。故该幂级数的收敛域为
在x=2处收敛，
则该幂级数在在x=0处发散，
则该幂级数在。
在x=2处收敛，在x=0处发散，则幂级数
的收敛域
则过L 1且与L 2平行的平面方程为_____。
4．
设函数f 是可导函数，
【答案】
由方程
，则
_____。
所确定，且，其中
【解析】在方程两边分别对X 求导得
又
故
解得
5． 若函数（f x ）满足方程
【答案】
则特征根为
的通解为
得
可
知
故
【解析】由题意知，函数f （x ）的特征方程为故齐次微分方程
为任意常数。再
由
6． 由曲线量为_____。
【答案】
。
及
f x ）=_____。 则（
绕y 轴旋转一周所得旋转曲面在点处指向外侧的单位法向
【解析】根据曲线绕y 轴形成的旋转曲面的计算方法可计算得到，旋转曲面的方程为
而旋转曲面上任意一点处的切平面的法向量为
其中故在点
将其单位化，得
处曲面指向外侧的法线向量为
7． 设曲面
【答案】
，则_____。
【解析】由于x 是关于x 的奇函数，且积分曲面
。又因为积分曲面关于x ，y ，z 具有轮换对称性，则
关于yOz 对称，故
8． 将
【答案】
【解析】积分域如下图所示，则
化为极坐标下的二次积分为_____。
图
9．
【答案】
可知曲线关于y 轴对称，且函数2x 是x 的奇函数，
。
_____，其中曲线L 为
【解析】由曲线方程L 为故
10．二次积分
【答案】
【解析】
。
，故
=_____.
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