2017年山东科技大学电气与自动化工程学院843信号与系统考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数
即二阶导数
。
【
答
案
】
（
1
（2）
2． 设
，其中f （y ）为可微分的函数，求F 〞（x ）。
【答案】
3． 求过点
（2，9，﹣6）且与连接坐标原点及点
的线段，
垂直的平面方程. 【答案】
=（2，9，﹣6）. 所求平面与
垂直，可取n=
，设所求平面方程为
2x ＋9y －6z ＋D=O
将点（2，9，﹣6）代入上式，得D=﹣121. 故所求平面方程为
2x ＋9y －6z －121=0
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）
4． 一球面过原点及A （4，0，0），B （1，3，0）和C （0，0，﹣4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径
【答案】设所求球面的方程为标代入上式，得
a ²＋b ²＋c ²=R² （8-3） （a －4）²＋b ²＋c ²=R² （8-4） （a －1）²＋（b －3）²＋c ²=R² （8-5） a ²＋b ²＋（4＋c ）²=R² （8-6）
联立式（8-3）（8-4）得a=2，联立式（8-3）（8-6）得c=﹣2，将a=2代入（8-4）（8-5）并联立得b=1，故R=3.因此所求球面方程为（x －2） ²＋（y －1） ²＋（z ＋2） ²=9，其中球心坐标，半径为3. 为（2，1，﹣2）
5． 求函数
【答案】
在点
处变化最快的方向，并求演这个方向的方向导数。
将己知点的坐
由方向导数与梯度的关系可知，最快，其方向导数为
沿
方向减少最快，其方向导数为
6． 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙，且这两种产品的边际成本分别为两种产品的产量分别为x （件）和y （件）6+y（万元/件）。
（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数C （x ，y ）（万元）;
（Ⅱ）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小? 求最小成本; （Ⅲ）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。 ，
【答案】（l ）假设生产甲乙两种产品的总成本函数为C （x ，y ）由于边际成本是
和
，所以可得
。
（万元/件）与
在
处沿
的方向增加
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积分得因此又由于
所以总成本函数
，即
，故代入求得
。
。
（2）总产量为50件，即则
，将代入到C （x ，y ）中
所以当y=26时，C （y ）取最小值11118，此时x=24。 即当x=24，y=26时，总成本最小此时甲产品的边际成本是生32万元改变。
。
（3）当x+y=50且总成本最小时，x=24，y=26。
此意义是要求总产量为50件时，在甲产品24件时。此时要改变一个单位产量时，成本会发
二、证明题
7． 试对曲面
【答案】按右手法则，取上侧，的边界逆时针方向。
为圆周
验证斯托克斯公式。
从z 轴正向看去，取
的参数方程可取为
t 从0变到2π，故
两者相等，斯托克斯公式得到验证。
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