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一、计算题

1． 设能获得

是取自均匀分布总体作为的无偏估计.

则

从而

可见

不是

的无偏估计量. 由

解之得

因而

是

的无偏估计量. 记

为样本相应的次序统计量，于是

有

【答案】

令

的估计量，问

的一个样本，若分别取

是否为

和

的无偏估计量？如果不是，如何修正才

2． 设随机变量X 服从标准正态分布N （0，1），试求以下Y 的密度函数：

（1）【答案】（1）

. ；（2）

所以当

Y 的密度函数为时，

对上式两端关于y 求导得

所以Y 的密度函数为

这个分布被称为半正态分布. （2

）

的可能取值范围为

所以当

时，Y 的密度函数为

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的可能取值范围为

当y>0时，Y 的分布函数为

当

y>l时，Y 的分布函数为

对上式两端关于y 求导得

所以Y 的密度函数为

3． 设随机变量x 与y 相互独立，x 的概率分布为

，记Z=X+Y。

（I

）求【答案】 （I

）

（II ）设z 的分布函数为F （z ），则其值为非零时z 的取值区间为[-1，2]。 当z<-1时，F （z ）=0； 当z>2时，F （z ）=0；

当

所以z 的分布密度函数为

4． 设总体密度函数为

【答案】对数密度函数为

将上式对θ求导，得到

二阶导函数为

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Y

的概率密度为

（II ）求X 的概率密度f （z ）。

时，

x ＞c ，c ＞0已知，θ＞0，求θ的费希尔信息量I （θ）.

于是

5． 设随机变量X 的分布函数为

试求

6． 某保险公司多年的统计资料表明, 在索赔户中被盗索赔户占20%, 以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.

（1）写出X 的分布列；

（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. 【答案】（1）X 服从n=100, p=0.2的二项分布b （100, 0.2）, 即

（2）利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理, 有

这表明:被盗索赔户在14与30户之间的概率近似为0.9437.

7． 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率.

【答案】设事件A 表示“三枚硬币中至少出现一个正面”.若用“0”表示反面，“1”表示正面，其出现是等可能的，则此题所涉及的样本空间含有八个等可能样本点：

由于事件A 含有其中7个样本点，故P （A ）=7/8.

8． 抽查克矽平治疗矽肺患者10名，得到他们治疗前后的血红蛋白量之差（单位：g%）如下：

（1）作正态概率图，并作初步判断；

（2）请用W 检验判断治疗前后的血红蛋白量之差是否服从正态分布（【答案】（1）首先将数据排序，得到

对每一个i ，计算修正频率

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【答案】这里X 是连续随机变量，所求概率分别为

）？