2017年东北大学数学综合之高等代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设T 为线性空间V 的线性变换且
①T 的特征值是1或0; ②若1，0都是T 的特征值，
为相应特征子空间，则
【答案】①设则因为②任取反之，任取于是又显然故但显然
2． 设的值.
【答案】因为由
并且设
比较系数得
（1）如果
则
代入第1式得
再由2式得
是
与
与
不能同时为0, 所以
根据题目假设，它一定是一个2次多项式.
所以的一个最大公因式，因此
能整除
即又有
又
因此，故由上即得（7）.
的最大公因式是一个2次多项式，求t , u
故
则
令
故则由因此，
得
且
为T 的任一特征值且
证明：
（2）如果即有
因此
根据以上讨论，知t ，u 的值为
3． 设E 为n 阶单位矩阵，a ，b 为给定的n 维列向量，并有
证明：
是正定矩阵. 【答案】当
时，显然
所以有
正定.
则由1，2两式，解得
令
则有H ，为对称阵，且
所以
的特征值为
从而h ，半正定. 所以H 是正定矩阵.
4． 设A 是数域K 上的一个m ×n , 矩阵，B 是一个m 维非零列向量. 令
（1）证明：W 关于
的运算构成
的一个子空间；
（2）设线性方程组AX=B的增广矩阵的秩为r. 证明W 的维数（3）对于非齐次线性方程组
求W 的一个基.
【答案】（1）显然因为存在
使
又
所以
即此说明W 是的子空间.
由题设，其解空间V 的维数
为
存在的解.
显然，这是W 形到V 的一个双射.
又
则
使
（2）对线性方程
组
任取
所以
是线性方程组
这样，存在W 到V 的映射
，
存在
所以
使
且
可见W 与V 同构，从而有
（3）由（2）W 与如下齐次线性方程组解空间同构
.
该方程组的一个基础解系为：
其在之下原像
即为W 的一组基.
5． 在6级行列式中，
【答案】 6．
【
带正号；通常称为
答
这两项应带有什么符号？ 带正号.
的距离，证明：
案
】
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