2017年海南师范大学数学综合(数学课程与教学论和高等数学)之高等代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 证明：
【
答案
】
设
由此得反之设_
于是
故
从而
2． 求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用它表出全部解.
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）对系数矩阵作初等行变换
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则
存
在
得到同解的齐次方程组
可解得一般解
其中
是自由未知量，分别取自由未知量为
代入一般解，
方程组的全部解为：（2）
取任意常数. （3）（4
）
取任意常数.
3． 设V 为有限维线性空间，为非零子空间，如果存在惟一的子空间使 试证明之.
【答案】用反证法若取则再令
的一组基
令
由于
上③式右端的矩阵行列式值为1, 可知基. 因此
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得到一个基础解系为
取任意的常数.
是一个基础解系. 全部解为
是基础解系，全部解为及
取任意常数.
为基础解系，全部解
为
（直和）则，
设则
并扩大为V 的一组基
则
线性无关，从而也是V 的一组
下证
用反证法，若
则有
这是不可能的. 因为由
4． 设
证明：
【答案】（1
）任意
. 即这就证明了（2）任意对
由
显然有
自然有
则有
即有故
又对时总有
即
有
故
故
又若
由
则有
故
有
再由②知
矛盾.
5． 指出下列线性空间的维数，若为有限维时各给出一基：
是由0及数域K 上二元n 次齐次多项式作成的线性空间；
是复数集对数的普通加法与乘法作成的实数域R 和有理数域Q 上的线性空间. 【答案】故为
的一基，
元用x , y表示，则显然的维数是
（虚单位）为其一基，又
作成有理数域Q
为圆周率，是超越数）中任意有限个均线性无关.
都是二元n 次齐次多项
式，且根据多元多项式相等可知线性无关. 又显然K 上每个二元n 次齐次多项式都可由其线性表示，
是实数域R 上的2维空间，因为显然1，
上无限维空间，因为例如，中数1,
6． 求正交变换，即求正交矩阵T ，使变换
化实二次型
为标准型（即平方和）.
【答案】（1）写出此二次型的矩阵
（2）求出A 的特征值 计算可得
所以
（3）求出相应的线性无关特征向量
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