2018年东华大学理学院811高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
求
及
，又
【答案】根据综合除法，得
故
2． 设向量组
【答案】设组
易知它与
的极大线性无关组分别为
等价，具有秩
及由于
皆小于等于
因此
合成向量
中又极大
的秩分别为
证明：
任一无关的向量部分组中向量数小于等于极大线性无关组的向量数，故线性无关组向量数显然小于等于原向量组中向量数，故 3．
对
定义
试证对偶基.
【答案】易证令
都是使得
第 2 页，共 52 页
都是V 上线性函数, 并找出V 的一组基
上线性函数.
使是它的
即有
专注考研专业课
13年，提供海量考研优质文档！
解得出
同样可算出
满足
由于
是V 的一组基, 而
4． 设V 是数域K 上n 维线性空间，
（1）存在
，使得
使
（2）存在V 中一组基【答案】 （1）因（2）令显然，且且有 5． 若
又
是正定阵，则
，同样有线性无关, 令
, 则存在
是它的对偶基.
是V 的s 个真子空间，证明:
,
，
，（构成V 的基）
，且
是V 的真子空间，由上例，存在
线性无关，如此继续下去，可得线性无关向量组
也是正定阵，且
正定.
【答案】A 是正定矩阵的顺序主子阵，因而正定，从而
即所以
正定.
第 3 页，共 52 页
从而正定.
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
对式（1）两边取行列式得
由
正定，所以
半正定
.
所以
结合式（2），证完.
6． 用初等对称多项式表出下列n 元对称多项式：
表示所有由
（【答案】
经过对换得到的项的和. ）
7． 已知线性方程组
（I
）
的一个基础解系为
试写出线性方程组 （II
）
的通解，并说明理由. 【答案】令
则（1）可写为（3）:
（2）可写为（4）:
由题意知
第 4 页，共 52 页