2018年东北财经大学数量经济学801经济学之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明:
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
2． 设
为独立随机变量序列，且
证明:
服从大数定律.
相互独立，且
故可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
3． 设
是来自
服从大数定律. 的样本，的密度函数为
已知，试证明，
是
于是
所以的费希尔信息量为
，这就是说
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【答案】因
，的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体
的任一无偏估计的C 一R 下界为
又
这就证明了
4． 设随机向量
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
同理可得
由此得必要性:若由此得
5． 证明:若
则对
有
两两不相关.
两两不相关，则由上面的推导可知
【答案】充分性:若
是
的有效估计，从而也是UMVUE. 间的相关系数分别为
且
并由此写出
与
其
中
【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示
为
且U 与V 独立，从而有
由于
将两者代回可知，在
时，若r 为奇数，则
若r 为偶数，则
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证明完成. 进一步，当当
时，
时，
（此时要求（此时要求
否则均值不存在）， 否则方差不存在）.
6． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布
试证明:【答案】设
相互独立. 则
所以
. 由此得
和
的联合密度为
所以 7． 设和方差,
（2）当
【答案】 （1）由由于X 的概率密度为
所以
由此证得（2）由
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可分离变量，即U 与V 相互独立. 是来自总体x 的简单随机样本,
, 证明:
相互独立知,
也相互独立,
所以
时,
分别为样本的均值
（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,
与
相互独立知,
与
也相互独立, 从而