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一、计算题

1． 建立以点（1，3，﹣2）为球心，且通过坐标原点的球面方程.

【答案】设以点（1，3，﹣2）为球心，R 为半径的球面方程为

球面过原点，故

从而所求球面方程为

2． 设函数

为了使函数f （x ）在x=1处连续且可导，a 、b 应取什么值? 【答案】要使函数f （x ）在x=l处连续，应有要函数f （x ）在x=1处可导，应有

。而

故a=2，b=-1

3． 判断下列级数的收敛性：

，即1=a+b。

【答案】（1）此级数为公比（2）此级数的部分和

而

即该级数发散。 （3）此级数的一般项级数发散。

（4）此级数为公比（5）此级数的一般项等比级数，而收敛。

4． 求过点

【答案】

将点

故

与

的等比级数，因

注意到

故该级数发散。

分别是公比

与

的

有

不满足级数收敛的必要条件，故该

故

的等比技术，因

故该级数收敛。

均收敛，根据收敛级数的性质可知，原级数

（2，9，﹣6）且与连接坐标原点及点

=（2，9，﹣6）. 所求平面与

的线段，垂直的平面方程. ，设所求平面方程为

垂直，可取n=

2x ＋9y －6z ＋D=O

（2，9，﹣6）代入上式，得D=﹣121. 故所求平面方程为

2x ＋9y －6z －121=0

5． 计算抛物线y>0，故有

从顶点到这曲线上的一点M （x , y ）的弧长。

【答案】不妨设p>0，由于顶点到（x , y ）的弧长与顶点到（x , -y ）的弧长相等，因此不妨设

6． 求直线在平面上的投影直线的方程.

【答案】作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.

设过直线得由得

. 代入平面束方程，得

的平面束方程为

. 因此所求投影直线的方程为

7． 已知函数向倒数。

【答案】根据方向导数与梯度的关系知，f （x , y ）沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模。

因

为

，此题目转化为对函

数下的最大值，即为条件极值问题.

为了计算简单，可以转化为

对

下的最大值。

构造函数：令

在约束条件C

：

，

故

，

模

在约束条件C

：

，曲线C ：，求f （x , y ）在曲线C 上的最大方

得到因此

故f （x , y ）在曲线C 上的最大方向导致为

。

上

8． 下列周期函数f （x ）的周期为2π, 试将f （x ）展开成傅里叶级数，如果f （x ）在的表达式为：