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一、证明题

1． 设

在点

存在，在点

于是有

令

时有

故f (x ，y )

在点

2． (1) 证明：若

(2) 证明：若f 在【答案】(1) 由于有

从而有

由

根据第(1) 题知：

3． 证明级数

【答案】因为按对角线相乘可得

*

所以两级数的乘积为

与

绝对收敛，且它们的乘积等于

故级数

.

绝对收敛，同理

也绝对收敛，

收敛可知

收敛，

所以

从而可微.

收敛，且存在极限

上可导，

且存在，若

因

与

设

故则

都收敛，则对

发散，于是

存在M ，使得当

时，

也发散. 这

因

为

在

点即

连续，所以

当

在点

连续，证明f (x ，y ) 在点

其中

可微.

【答案】因为

存在，由一元函数的可微性知

与已知条件矛盾，故有

(2)

设

4． 证明：

(1

) (2

) 【答案】(1) 界，设界为M. 若记

则

注意到

收敛，利用优级数判别法可知，

在[0, 1]上一致收敛.

因为

所以xlnx 在[0, 1]上连续并且有

由逐项积分定理，有

(2)(2) 的证明包含在(1) 的证明之中.

5． 应用柯西收敛准则，证明以下数列{an}收敛：

(1

) (2

)

【答案】(1) 设n>m, 则有

因为

于是对任意正数则当n>m>N时，

(2) 设n>m, 则有

(

不妨设) ，必存在N ，使当n>N时，

有

收敛.

即取

由柯西收敛准则可知，数列

对任给的

枚敛.

6． 若

在

只

要

内连续，且

则

对又因

为

存在，求证：存

在

在

则有

即

在

内有界.

7． 证明：闭域必是闭集，举例说明反之不真.

【答案】(1) 设D 为闭域，则有开域G 使

其中为G 的边界，设. 中为G 的余集即关于

下证

若不然，则存在

中含有G 的点Q , 于是因此②真，由①知

故不是D 的聚点，这就证明了：若为D 的聚点，则. (2) 例如

因此D 为闭集.

是闭集，但不是闭域. 于是当

充分小时

由于

从而

这与以上结论矛盾.

则

且

由

知：对任意

其

的补集. 由于

从而存在

使得

当

在

时

，

内有界.

即

有使

得

取

，则对一切n>m>N，有

由柯西收敛准则知，

数列

【答案】

设

上连续，所以存

在

二、计算及讨论题

8． 求取外侧.

【答案】球面在点(X ，y ，z ) 处的法向量为

由两类曲面积分的关系，有

其中

作极坐标变换，有

其中S 是球面的第一卦限部分，