2018年西北农林科技大学资源环境学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有 2．
设
为三维单位列向量，并且
记证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解；
（Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，故A
有零特征值
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
3．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
则
即A
相似于矩阵
线性无关，
列向量组线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
则
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
使得
线性无关；
向量组
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
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于是，
方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此
，所有非零列向量 4． 已知
，求
所有非零解_
t 为任
【答案】令
则且有
1
所以
二、计算题
5． 写出四阶行列式中含有因子
位于第2列和第4列
，
即此行列式中含有
6．
已知
（1）能由（2）
不能由
，
故
（2）
方法二：（1）无关）；又，表示.
的项.
或
和
注意到排列1324
与1342的逆序数分别为1与2, 故
证明
【答案】由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，
而它们又分别
和
的项为
线性表示；
线性表示.
，
知则知能由
，则知不能由
向量组向量组
线性无关
线性相关. 于是，必能由
，又己知 线性表示
； 线性表示. （惟一地）线性
【答案】方法一：（1
）由
线性无关（整体无关则部分