2018年西北农林科技大学资源环境学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
2．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
得
有
有惟一解知
则方程组
. 即
即
可逆.
矩阵
且
有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，这与
有非零解，即存在
为可逆矩阵，
且方程组
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
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且有
3
． 设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（
Ⅰ）由于
4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记和向量组向量
线性表示.
使得
线性无关；
向量组
则
线性无关，列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关
，故存在一组不
即，
线性无关
，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为
0.
使得可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为_意非零常数.
因此，所有非零列向量 4． 设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解；
所有非零解_
t 为任
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（Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，故A
有零特征值
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
二、计算题
5． 求一个齐次线性方程组，
使它的基础解系为
【答案】设所求齐次线性方程为Ax=0
记
.
那么
是方程AX=0的基础解系
AB=0, 且R （A ）
=2
, RR （At ）
=2
的两个列向量是由
得基础解系为故A
可取为
对应齐次线性方程组为
6． 设A 为列满秩矩阵，AB=C, 证明方程Bx=0与Cx=0同解.
【答案】若x 满足Bx=0, 则ABx=0, 即Cx=0.
若x 满足Cx=0, 即ABx=0, 因A 为列满秩矩阵，知方程Ay=0只有零解，故Bx=0.
，
的一个基础解系（因R （B ）=2）。