2017年西南交通大学数学学院625数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 利用柯西收敛准则证明下列数列收敛：
(1)
(2) 【答案】
由于(不妨设
其中
)
而
即数列
(2) 对
所以存在正整
数
收敛.
)
取
2． 若
的收敛半径为
且
收敛，则
也收敛，且
【答案】因为
所以
因为
则当
时有
所以数列
收敛.
由于(不妨设
当
时
有
于是
当
时
有
且
且
收敛，所以
在[0，A]上一致收敛，故在[0，A]上可逐项积分，因而
因
关于A
在
成立，而
上一致收敛，由和函数的连续性知
3． 证明下列结论：
(1) 设f (u , v ) 具有二阶连续偏导数，且满足方程
(2) 设z=f(x ，y ) 是二阶连续可微函数，又有关系式
【答案】(1) 令
则z=f(U , V ) ，于是
故
(2) 由
知
于是
故
收敛，
因此
则
也满足方程
是不为零的常数，
则
4． 设是上的有界连续函数，证明:对任意使得
存在数列
满足
【答案】记(1) 若存
在
使得
当
则
这表明记为上
由(2) 若存在
(3)
若存在
使得当
满足
：
分三种情况讨论.
时，恒
有
而且
是单调递增数列. 注意到
的有界性，利用单调有界定理，
可得
时，恒有
使得
这种情形可仿照(1) 证明.
. 使得而且
由连续函
于是，有
存在，
即
取
数根的存在定理知，存在
二、解答题
5． 设
（2）对
可找到相应的N ，这是否证明了趋于0? 应该怎样做才对；
由
设
即可. 所以，当
当
这个不等式成立的一个充分条
时，相应的时，相应的
求得
则当
定
这样才能证明
时
，
（1）对下列分别求出极限定义中相应的N :（3）对给定的是否只能找到一个N? 【答案】（1）对任意
件为
当
即
因此取时，相应的
（2）在（1）中对义，
对任意正数
都找到了相应的N. 这不能证明趋于0, 应该根据数列极限
都找到相应的N. 对于本题，
由
（3）对任意的正数若存在N ，使得当n>N时，都有
也成立. 因此，对给定的
6． 求下列不定积分：
【答案】（1）原积分
，若能找到一个N ，则可以找到无穷多个N.