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一、证明题

1． 设

是凸域，

且满足

证明：f (x ) 的海色矩阵【答案】由泰勒公式得：

根据条件

故有

上式消去并令这表明矩阵

即得

是半正定的. 由于任意性，所以海森矩阵在上是半正定的.

证明：存在

因为下证有

故E 非空且有上界b , 从而必有上确界，可记

对任意的

即

有

b]上递增，而f (x ) 在[a，故

由此得出

即而综上即有

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是半正定的.

为任一向量，当t 充分小时，点，

2． 设f (x ) 在[a, b]上递增

，

使得

记

又

故

【答案】用确界原理证明. 若f (a ) =a或f (b ) =b, 结论成立. 下面假设

为E 的一个上界，从而有

另一方面，由于f (x ) 在[a，b]上递增，于是有

故又有

成立.

3． 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集

(1) . (2)

【答案】(1) 对任意的

因此

对于任意正

数

，故

(2) 同理可证.

4． 证明：若在

上为连续函数，为连续可微的单调函数，则存在

【答案】设

则

于是有

由假设使得

为单调函数，故

. 存

在

即

存在

是A+B的一个上界.

使

得

使得c=a+b, 则设

证明：

于是并

且

于是

，

使得

不变号，从而根据推广的积分第一中值定理，存在

二、解答题

5． 设

(1) 试求(2) 证明【答案】⑴

易证

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其中

与

的导数，并以

与

满足方程

(这两个积分称为完全椭圆积分) . 表示它们；

故有

即

(2) 对(1) 中(a) 式求k 的导数后，再将(a) 式代入得

(3) 由(a) , (b ) 有

代入上式后得

6． 求函数

【答案】设

令

解得

依题意，相当于求n 维空间中原点到超平面

的最短距离. 由几何学知，最短距离存在，

在条件

下的最小值.

而稳定点只有一个，故一定在惟一稳定点处取得最小值，故

7． 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值：

【答案】⑴

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