2017年江苏师范大学数学与统计学院647数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数
在
上严格单调増加，求证：函数
也在【答案】
上严格单调増加.
且设
于是
同理可证
2． 设
【答案】令
求证
：
显然有
于是
3． 设
(1) 若(2) 若【答案】(1
)
4． 设
令(1
) (2)
求证：
上可导，且导数只在
(0，1) 上可导，且导数只在
因为
在上严格单调増加，所以
在上严格单调增加.
求证：
则f 为单射，g 为满射；
则f 与g 互为反函数.
由条件得
，
即
使得即f 为单射.
故g 为满射
；
则由条件推出
处不连续； 处不连续.
【答案】(1) 因为又当
时，
且听以由连续性定理知.
因此从而
在上一致收敛. 于是函数
上可导，且
又因为上可导，导数在点处不连续，所以
在(2) 不连续.
5． 若函数
上可导，且导数只在点，
故由(1) 知
处不连续.
1) 上可导，在(0，且导数只在点
处
满足恒等式则称为次齐次函数，
试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数并解
为2次齐次函数.
【答案】(1) 必要性由令
则有
为k 次齐次函数的充要条件是：
两边对求导得
充分性设令
由已知，得所以
(2) 因为
求
关于的偏导数得
于是
仅是
令
所以
的函数，记
因此
为2次齐次函数.
二、解答题
6． 求下列函数的偏导数：
【答案】
7． 已知
【答案】因为
8．
【答案】利用定积分的定义求解
.
9． 求下列函数的高阶微分：
其中
则
在点x=a的某邻域内连续，求