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一、证明题

1． 设

证明：

【答案】原不等式等价于

取

的凸

函数. 若记

由凸函数的性质

即

亦即

2． 已知

求证

时，

，则要证的不等式等价于

令

则

而

故

从而有

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则由可知

，

是上

【答案】当

3． 证明不等式

【答案】由于

在.

恒大于0,

令，

显然

在

上连续.

证原不等式可转化为证由于

令则

所以从而

所以

即

上单调递增，所以

即，

4． 设f 在

(c 为常数). 【答案】由题意可知，故

其中

为常数.

在任何有限区间内连续，且

由

积分可得

故

上有任何阶导数，

记

从而

试证

单调递增，故

且在任何有限区间内

，

二、解答题

5． 设函数

【答案】若

在区间

上二次可微，且有界. 证明：

. 使得

则

必变号. 若不然，

不妨设

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使得

变号，由导数的介值性，

下证：在题目的条件下

，严格递增. 取

使

若若这与对

则当则当

. 并令并令

咐，有

时，有

有界性假设相矛盾.

可类似地证明.

6． 试问下列等式是否成立：

（1）（2）

【答案】（1）对于任意一个函数f （x ）的反函数

由于arctanx 的定义域为R , 故等式成立.

（2）因为

的值域是

所以等号左边的值是有界的，而等号右边的值是无界

的，故等式不成立.

7． 应用分部积分法求下列不定积分：

【答案】

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当x 属于

的定义域时，

总有