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一、证明题

1． 证明：若给的因为n 是

(2) 若在N ，使得

的下界，所以对一切

因此

这个

为递增(递减) 有界数列，则又问逆命题成立否？

为递増有界数列，根据确界原理，

因为

有下确界. 令

则对任给的

又因为a 是即

存

因为

是递减的，所以当n>N时，

于是，当n>N时

有上确界. 令

则对任

又即

是递增的，所以当n>N时，

于是，当n>N时，

【答案】(1) 若

存在N , 使得

的上界，所以对一切因此，

为递减有界数列，根据确界原理，

(3) 逆命题不成立，一个收敛到确界的数列，不一定是单调数列，例如数列收敛到它的上确界1, 但不是单调数列.

2． 设在(0, 0) 点附近存在，且在(0, 0) 点可微，证明：

【答案】因为

在(0, 0) 点可微，所以

都存在.

下证：两个混合偏导数相等. 由于

因此

其中

(2)

和

其中

是

时的无穷小量，

是

时的无穷小量.

将式(2) 、式(3) 两式代入式(1) 可得

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注意到在(0, 0) 点可微，我们有

令 3． 设

证明：

【答案】原不等式等价于

取

的凸

函数. 若记

由凸函数的性质

即

亦即

4． 证明下列等式：

【答案】(1) 令

则

于是

(2)

由

可知

是瑕点. 令

则当

时，

由⑴得

5． 试用定义

(1) 数列(2) 数列收敛于极限a.

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则故有

则由可知

，

是上

证明： 不以1为极限； 发散.

任给

若在

之外数列

丨中的项至多只有有限个，

则称数列

【答案】定义

(1)

取，则

知，

当n>l时，

不以1为极限. 因此，

数列

发散.

于是，数列

中有无穷多个项落在

则

之外. 由定义(2) 当n 为偶数时

是无界的. 设a 是任意一个实数，取

之外，否则

有界. 故数列

于是，数列

不收敛于任何一个数，即数列

中有无穷多个项落在

二、解答题

6． 设二元函数f 在区域

(1) 若在int D内有

上连续.

试问f 在D 上有何特性？

上连续，若在由中值定理知：存在

即

例如，在矩形区域

由

的任意性，知

上二元函数

在

内

可是f 不连续

二元函数

在D 上连续，且

7． 求下列极限：

；

（a 为给定实数）

【答案】

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(2) 在(1) 的讨论中，关于f 在D 上的连续性假设可否省略？长方形区域可否改为任意区域？ 【答案】(1) 二元函数f 在这是因为对

内任意两点

内有

使得

(2) 在(1) 的讨论中，关于f 在D 上的连续性假设不能省略. 否则结论不一定成立.

显然f 与x 有关，结论不成立.

在(1) 的讨论中，长方形区域不能改为任意区域，否则结论不一定成立. 例如设

但即f 与x 有关，结论不成立.