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一、证明题

1． 设a ，b ，A 是均不为零的有限数，证明

【答案】因为当由所以且

再证充分性. 因为故因此有

所以

2． 叙述(1) 有限覆盖定理和(2) 魏尔斯特拉斯

【答案】(1) 有限覆盖定理：若个开区间来覆盖[a，b].

(2)

定理(致密性定理) ：有界数列必存在收敛子列.

若

中任意一子列的极限. 由此可知，存在

中无收敛子列，则对任意

的在

中至多只含

中存在有限个开区间

根据限项，这与

的构造性质可知，中，

中也只含有

中的有限项，从而[a, b]中也只含有

中的有

不是

有

显然

反证法. 设数

列

中的有限项. 于是得一满足上述条件的开区间族

为[a，b]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，

定理(致密性定理) ，并用(1) 证明(2) .

中必存在有限

时

故

(当

时) ，

先证必要性.

的充分必要条件是：

为闭区间[a，b]的一个(无限) 开覆盖，则在

矛盾，所以结论得证.

3． 证明：函数

【答案】因为

只要

在区间上一致连续的充要条件是： 只要

就有

对上述从而

由

此即为

但

显然

，

取

可知

相但

在上一致连续，所以

，

就有

用反证法. 函数

在上不一致连续可表述为：

尽管

应地存

在满

足

矛盾.

4． 证明对任意自然数n ，方程

【答案】令

连续函数的零点定理知，

又从而

对

5． 证明公式：

两边取极限得

在[0, 1]上存在惟一的零点，即方程

则

.

在[0, 1]上有零点.

在区间[0, 1]上总有惟一实根并求

因此，由

所以.

在[0，1]上单调.

1]

上总有惟一实根在区间[0，

这里数.

【答案】设S 为球面

则有

考虑新坐标系

它与原坐标系

共原点，

且

在新坐标系

中，

则

从而

平面为

坐标系的平面

，

轴过原点且垂直于该平面，于是有

在

时为连续函

这里的S 仍记为中心在原点的单位球面，将S 表示为：

6． 设f (x ) 在[0, 1]上连续，且

收敛.

【答案】对任意的

使从而

7． 对

【答案】令因此

因为

在上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致收敛，所以

从而

时

，

由于f (x ) 在[0, 1]上连续，所以在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

存在

为在[0, 1]上的最大值，从而存

在使得

当

由于收敛，故该级数在[0，1]上绝对且一致收敛. 应用拉格朗日中值定理，试证：对

则

对

有

应用拉格朗日中值定理得

故

二、解答题

8． 将函数

【答案】因为

展开为傅氏级数.

是奇函数，所以

因为

逐段单调，所以

9． 设试用

【答案】由

和一组函数

得

于是

，那么由方程

可以确定函数