2018年西安工程大学理学院827高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设
则3条直线
①
（其中A. B. C. 秩D.
线性相关，
【答案】D 【解析】令其中
秩由秩从而可由
. ，可知
则方程组①可改写为
②
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
可知1
线性相关，即
可由
线性表出，
线性表出.
线性相关，故选D.
秩A , 则线性方程组（ ）.
方程组①有惟一解
方程组②有惟一解
线性相关 线性无关
线性无关
）交于一点的充要条件是（ ）
2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 3． 设
A. 合同且相似
阶方阵，且秩
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
秩
则A 与B （ ）.
B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
4． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，从而否定A , 若选
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
若选故选B.
5． 设
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为但D 中
, ，从而否定C ,
是非齐次线性方程组
的两个不同解，是的基础解系，
为任意常数，则Ax=b的通解为（ ）
所以
不一定线性无关. 而
，因此不是的特解，从而否定A ，C.
由于故
是
，因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
的基础解系. 又由
二、分析计算题
6． 设A 为n 阶方阵，证明：
（1）
【答案】先证
显然线性方程组
（2）
的解都是
（3）
的解.
设是
, 同解，故
再证
只要证（3）与方程组
（4）
同解. 显然（3）的解都是（4）. 设故
是（2）的解，即于是
如此进行下去，故式（1）成立. 方法5标准形法将矩阵A 化为等价标准形，其秩等于标准形中1的个 数. 将A 化为若当标准形，由若当块的秩为
从而容易计算出A 的秩. 若A 能够对角化讨论更方便. 例4. 55证明：多项式
的根中有k 个n 次单位根的充要条件是循环矩阵
的秩为
7． 求多项式
【答案】记则
是（3）的解，
则
若
则线性无关，但是此向量组
，即（3）的解都是（2）的解. 由两方程组
个n 维向量，它们线性相关，矛盾，故
是（4）的解，则是（3）的解. 由（2）与（3）同解，
是（2）的解，故（2）与（3）同解，从而
有重根的条件.