2018年中南民族大学数学与统计学院858高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设行列式
为
，则方程，的根的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
有两个根
2． 设
则3条直线
（其中）交于一点的充要条件是（ ）
A. 线性相关 B. 线性无关
C. 秩
D.
线性相关，
线性无关
【答案】D 【解析】令则方程组①可改写为
其中
则3条直线交于一点
方程组①有惟一解
方程组②有惟一解
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①
②
秩由秩从而可由
3． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
. ，可知
线性无关，由秩
可知1
线性相关，即
可由
线性表出，
线性表出.
线性相关，故选D.
是（ ）二次型.
是不定二次型，故选B.
方法2设二次型矩阵A , 则
由于因此否定A , C, A中有二阶主子式
从而否定D , 故选B.
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,
记
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】由已知，有
于是
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则（ ）.
5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
则A 与B （ ）.
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
二、分析计算题
6． 一堆苹果要分给5只猴子，第一只猴子来了，把苹果分成5堆
，还多一个扔了，自己拿走一堆，第二只
猴子来了，又把苹果分成
5堆，又多一个扔了，自己拿走一堆. 以后每只猴子来了都如此办理，问原来至少有多 少苹果? 最后至少有多少个苹果？
【答案】设原来有x 1个苹果，5只猴子分得的苹果数依次为
则依题意有：
将后四个方程两端分别加4, 可解得.
逐次往上代入得
从中解出因
与
再代人.
得
且
可被整除，即：
互素，要使为正整数，必须
（其中m 为正整数）. 有最小正整数解，且
当m=】时
因此原来至少有苹果3121个，最后至少有苹果
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