2018年湖南师范大学物理与信息科学学院603高等数学之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、填空题
1．
己知向量
【答案】3或-4 【解析】
因为关.
又因
由于所以
2．
设
【答案】-3
【解析】由B 是三阶非零矩阵，
且故
解得
那么矩阵A 的三个特征值
知B
的列向量是方程组
的解且为非零解，
或
线性无关，
所以
可由
线性表出的充分必要条件是
线性相
是3个3维向量.
故
线性相关的充分必要条件是行列式
可以由
线性表出，则
_____.
为三阶非零矩阵，且则_____.
3． 设A 是主对角线元素之和为-5的三阶矩阵，且满足是_____.
【答案】1，-3，-3
【解析】设，是矩阵A 的特征值
，是相对应的特征向量，
即
由
有
又因
故
那么根据
知取值为1和-3,
再由
4．
设线性方程组
即
知矩阵A 的特征值是1, -3, -3.
有通解
其中k 是任意常数，
则方程组
有一个特解是_____.
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即
【答案】
则
分量为0,
即选
必是方程组（1）的解，现已知方程组（1
）有无穷多解其中k 是任意常数，选择任意常数k ，使（1）的解的第一个
得（1）
的一个特解为
则向量
满足方程组（2）,
【解析】观察可知方程组（2）比方程组（1）减少了一个未知量. 若方程组（2
）有解
是方程组（2）的一个特解.
二、选择题
5．
设
性相关的是（ ）。
A.
B.
C.
D. 【答案】C
【解析】
由于 6． 设A
是
矩阵，B 是
矩阵，且满足AB=E，则（ ）。
A.A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关 B.A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关 C.A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关 D.A 的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关 【答案】C 【解析】
因为
是m 阶矩阵，
所以
那么
又因
故所以
于是A
的行秩
所以A 的行向量组线性无关. 同理，B
的列秩
可知
线性相关.
其中
为任意常数，则下列向量组线
B 的列向量组线性无关.
7． 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（ ）。
A.
B.
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C.
D.
【答案】D
【解析】A 项是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化
B 项是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化.
C 项是秩为1的矩阵，
由
知齐次方程组
知矩阵的特征值是4, 0, 0.
对于二重根
由秩
的基础解系有3_1=2个线性无关的解向量，
即
由
有两个线性无关的特征向量. 从而矩阵必可以相似对角化.
D 项是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，_1就是矩阵的特征值，对于二重特征值秩
齐次方程组
只有3-2=1个线性无关的解，
亦即
只有一个线性无关的特征向
量，故矩阵必不能相似对角化.
8．
设
是2阶矩阵，
且满足
是任意常数，则
（ ）。
【答案】D 【解析】
由
有
因而B
的列向量是齐次方程组
那么齐次方程
组是任意常数）.
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的解.
又
故
的基础解系
是