2017年南京航空航天大学理学院814高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]内转过角度θ从而转角θ是t 的函数:θ=θ（t ）。如果旋转是匀速的，那么称刻t 0的角度?
【答案】在时间间隔[t0，t 0+at]内的平均角速度
在时刻t 0的角速度
2． 求半径为a 、中心角为
的均匀圆弧（线密度
）的质心。
为该物体旋转的角速度。如果旋转是非匀谏的，应假样确宁该物休存时
【答案】取坐标系如图所示，则由对称性知又
，故
（也可由圆弧的弧长公式直接得出）
所求圆弧的质心的位置为。
图
3． 将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体. 问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大?
【答案】设矩形的一边长为x ，则另一边长为p-x ，假设矩形绕长为p-x 的一边旋转，则旋转所成圆柱体的体积为
由
求得驻点为
。
和时，绕
由于驻点唯一，由题意又可知这种圆柱体一定有最大值，所以当矩形的边长为
短边旋转所得圆柱体体积最大.
4． 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（如图所示）。截面的面积为5m 。问底宽2为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？
【答案】设截面的周长为, 己知故令由
所以当截面的底宽为
, 得驻点
知
为极小值点, 又驻点惟一, 故极小值点就是最小值点。
及
, 即
时, 才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省。
图
5． 利用导数验证下列等式:
【答案】
6． 求螺旋线
【答案】
点（a ，0, 0）所对应的参数于是切线方程为
即
法平面方程为
即
7． 已知向量.
【答案】
由于
同时垂直，故所求向量可取为
，（1，﹣1，2）
（3, 3, 1）和
（3, 1, 3）. 求与
同时垂直的单位
在点
，故曲线在给定点的切向量
处的切线及法平面方程。
由
知
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